Занимательная математика

Сегодня у нас урок математики! Давно школу закончили? Попробуем на примере разобрать несколько нехитрых расчетов. Узнаем в чем отличие алгебраической и геометрической суммы и разности, а также на примере посмотрим к каким ошибкам в представлении своей инвестиционной деятельности это может привести.

Простейшая математика — что должен знать каждый инвестор

Для начала давайте вспомним, что такое капитализация процентов — тот самый сложный процент, благодаря которому мы богатеем день ото дня!

Капитализация процентов

Предположим, что у нас есть 300 руб. и мы вложили их под ставку 10% годовых. Тогда через года мы получим:

300 + 300 x 10%

Преобразуем наши 10% в числовое значение, разделив на 100:

300 + 300 х 0,1

Вспоминаем математику и выносим наши 300 руб. за скобку — получаем следующую запись:

300 х (1 + 0,1)

Так вот значение в скобках — (1 + 0,1) — называется мультипликатором. Обозначим его для простоты латинской буквой k.

Теперь давайте запишем какова будет наша доходность за n лет. Для этого мы умножим сумму наших первоначальных вложений на столько таких же скобочек, за сколько лет нам нужно посчитать доходность:

300 х (1 + 0,1) х (1 + 0,1) х … х (1 + 0,1)

Мы с вами можем упростить эту формулу и получить формулу доходности от вложения нашего капитала в следующем виде:

Считаем доходность инвестиций за n периодов

Если бы мы вкладывали деньги в банк, тогда бы у нас была постоянная доходность и соответственно постоянный мультипликатор k. Но мы с вами занимаемся инвестициями и доходности от года к году будут разниться. Поэтому для инвестиций доходность за n периодов будет равна:

k1 x k2 x k3 x … x kn — 1

Подобная запись и называется геометрической суммой доходности за n периодов.

Давайте на примере разберем зачем нам оно вообще надо.Предположим, что в первый год мы получили доходность +350% а за второй год мы получили убыток в -80%. Теперь давайте подведем итоги и посчитаем алгебраическую и геометрическую сумму наших результатов:

Алгебраическая сумма: 350 — 80 = 270%

Геометрическая сумма: (1 + 3,5) х ( 1 — 0,8) — 1 = -10%

Вот такая занимательная математика получается. Поэтому инвестору, который считает свою доходность за какое-то количество периодов, необходимо использовать геометрическую сумму, а не алгебраическую.

Считаем среднегодовую доходность

Чтобы посчитать среднее геометрическое нам нужно взять корень n-ой степени из нашей доходности. Если рассматривать пример выше, тогда у нас получается два периода, значит будем брать корень второй степени из выражения доходности:

Алгебраическое среднее: 135%

Геометрическое среднее: -5,13%

Арифметическая и геометрическая разность

Чтобы понять какова наша реальная доходность от вложений мы должны из полученной доходности вычесть инфляцию за тот же период. И здесь мы опять сталкиваемся с выбором как вычитать — алгебраически или геометрически?

Геометрическая разность представляет собой деление. Все расчеты производятся по аналогии с геометрической суммой, только умножение заменяем на деление. Сейчас на примере все станет понятнее.
Представим себе ситуацию, что инфляция за какой-то период составила 133%, а доходность наших инвестиций за тот же период составила всего 27%. Посчитаем реальную доходность алгебраическим и геометрическим путем.

Алгебраическая разность: 27% — 133% = -106%.

Странная ситуация. Получается что мы не только потеряли 100% инвестированного капитала, но еще и остались должны! Теперь посчитаем правильным способом.

Геометрическая разность: -45,49%

Это уже более похоже на правду, ведь инфляция в принципе не может «отнять» у нас деньги. Она может сделать их дешевыми и снизить их покупательскую способность.

Надеюсь, что на этих примерах стало понятно, почему при расчетах своей инвестиционной доходности нужно использовать геометрические суммы, разности и средние.

Информация, представленная здесь, не является индивидуальной инвестиционной рекомендацией, а упоминаемые финансовые инструменты могут не подходить вам по инвестиционным целям, допустимому риску, инвестиционному горизонту и прочим параметрам индивидуального инвестиционного профиля. Данный обзор и прочие обзоры размещенные в группе — это лишь мнение автора относительно финансовых показателей той или иной компании, того или иного актива и они не могут быть рассмотрены или использованы в качестве индивидуальной инвестиционной рекомендации. Проект и его владельцы не осуществляют деятельность по инвестиционному консультированию, не являются инвестиционными советниками и не несут никакой ответственности за любые убытки или расходы, связанные прямо или косвенно с использованием этой информации. Помните, что операции с ценными бумагами связаны с риском как частичной, так и полной потери денег и требуют получения соответствующих знаний и опыта.